三等分角问题

1. 1. 见“尺规作图不能问题”(977页)。

　　三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即 用圆规与直尺把一任意角三等分。问题的难处在于作图使用工具的限制。古希腊人要求　　几何作图只许使用直尺 （没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。这问题曾吸引着许多人去研究，但　　都无一成功。１８３７年凡齐尔（ １８１４－１８４８）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图　　的不可能问题。　　在研究「三等分角」的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。人们还发现，只　　要放弃「尺 规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米德（前２８７　　－前２１２）发现只要 在直尺上固定一点，问题就可解决了。现简介其法如下：在直尺边缘上添加　　一点Ｐ，命尺端为Ｏ。　　设所要三等分的角是∠ＡＣＢ，以Ｃ为圆心，ＯＰ为半径作半圆交　　角边于Ａ，Ｂ；使Ｏ点在ＣＡ延线上移 动，Ｐ点在圆周上移动，当尺通过Ｂ时，联ＯＰＢ（见图）　　。由于ＯＰ＝ＰＣ＝ＣＢ，所以∠ＣＯＢ＝∠ＡＣ Ｂ／３。这里使用的工具已不限于标尺，而且作　　图方法也与公设不合。